equazione delle tangenti all'iperbole

trova le equazioni delle rette tangenti all'iperbole di equazione x^2-y^2=9 nei suoi punti di intersezione con la retta x-5=0
(risultato: 5x+4y-9=0 ; 5x-4y-9=0)



metti a sistema iperbole e retta
x^2-y^2=9
x-5=0

25-y^2=9
y^2=16
y1=4
y2=-4
quindi come hai giustamente fatto tu
C(5;-4) e D(5;4)

la retta generica passante per C è
y-yc=m(x-xc)
y+4=m(x-5)
y=mx-5m-4

adesso metti a sistema tale retta con l'iperbole
y=mx-5m-4
x^2-y^2=9

x^2-(mx-5m-4)^2=9
x^2-(m^2x^2+25m^2+16-10m^2x- 8mx+40m)-9=0
x^2-m^2x^2-25m^2-16+10m^2x+ 8mx-40m-9=0
x^2(1-m^2)+x(10m^2+8m)- 25m^2-40m-25=0
poni Δ=0
(10m^2+8m)^2-4(1-m^2) ( -25m^2-40m-25 ) = 0

100m^4+64m^2+160m^3+
-4(-25m^2-40m-25+25m^4 +40m^3+25m^2)=0

100m^4+64m^2+160m^3+
+100m^2+160m+100-100m^4 -160m^3-100m^2=0

64m^2+160m+100=0

16m^2+40m+25=0
m1=m2= -5/4
per cui la retta
y=mx-5m-4
diventa
y= -5/4x+25/4-4
y= -5/4x+9/4
5x+4y-9=0


la retta generica passante per D è
y-yd=m(x-xd)
y-4=m(x-5)
y=mx-5m+4

adesso metti a sistema tale retta con l'iperbole
y=mx-5m+4
x^2-y^2=9


x^2-(mx-5m+4)^2=9
x^2-(m^2x^2+25m^2+16-10m^2x+ 8mx-40m)-9=0
x^2-m^2x^2-25m^2-16+10m^2x- 8mx+40m-9=0
x^2(1-m^2)+x(10m^2-8m)- 25m^2+40m-25=0
poni Δ=0
(10m^2-8m)^2-4(1-m^2) ( -25m^2+40m-25 ) = 0

100m^4+64m^2-160m^3+
-4(-25m^2+40m-25+25m^4 -40m^3+25m^2)=0

100m^4+64m^2-160m^3+
+100m^2-160m+100-100m^4 +160m^3-100m^2=0

64m^2-160m+100 =0
16m^2-40m+25=0
m1=m2= 5/4
per cui la retta
y=mx-5m+4
diventa
y= 5/4x-25/4+4
y= 5/4x-9/4
5/4x-y-9/4=0
5x-4y-9=0